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  "date": "2025-05-19",
  "excerpt": "在市场和人性中，科学地下注 赌神数学家 巴菲特、比尔格罗斯、西蒙斯等顶级投资大师其实都在用凯利公式，凯利公式也被誉为投资界最重要的公式。 在讲凯利公式之前，我先给大家讲一个关于凯利公式的背景故事： 1960年，一位麻省理工的青年教授爱德华·索普在一间办公室门口焦急地等待着。他有一篇关于研究21点概率的数学论文想发表在美国科学院院刊(PNAS)上，这个院刊是当",
  "markdown": "# 在市场和人性中，科学地下注\n\n## 赌神数学家\n\n## \n\n巴菲特、比尔格罗斯、西蒙斯等顶级投资大师其实都在用凯利公式，凯利公式也被誉为投资界最重要的公式。\n\n在讲凯利公式之前，我先给大家讲一个关于凯利公式的背景故事：\n\n1960年，一位麻省理工的青年教授爱德华·索普在一间办公室门口焦急地等待着。他有一篇关于研究21点概率的数学论文想发表在美国科学院院刊(PNAS)上，这个院刊是当时数学学科最高规格的院刊，论文需要美国科学院院士的举荐，而当时麻省理工唯一的数学学科院士是信息论创始人克劳德·艾尔伍德·香农。虽然同在麻省理工学院，但索普只是一个博士刚毕业的年仅29岁的青教，而香农是已经成名的学术泰斗，两者很难相提并论。香农的助理出来叮嘱他，告诉他一会只有几分钟时间，要抓重点讲，不要浪费香农院士的时间，这更加剧了他忐忑不安的心情。\n\n很快，索普见到了香农，一位有些消瘦但眼神机警的中年人。\n\n![图片](https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/KTLnyjtDjIps4qKiaazx9GFxJKEad3lVoOnthsEVgBmLj6N3icUg3uIxMFJSfjbuGfby7aCNleasFjmicBGnTG6Xw/640?wx_fmt=png&from=appmsg&tp=wxpic&wxfrom=5&wx_lazy=1#imgIndex=0)\n\n信息论创始人香农\n\n索普向香农展示了自己关于21点的概率计算和策略思路，通过他计算的策略可以把21点从一个庄家占优势的赌局转变为玩家占优势。香农询问了他各种策略的细节，尝试寻找了可能的瑕疵，原定几分钟的会面从上午聊到中午、共进午餐后又一直聊到了傍晚。\n\n最后香农非常愉快的答应帮索普举荐这篇论文，同时建议索普去看他在贝尔实验室的同事约翰·凯利1956年写的论文，通过约翰·凯利的下注公式可以进一步优化索普的21点策略。\n\n而这个约翰·凯利的下注公式，就是我们常说的凯利公式。\n\n接下来的几个月，索普结合凯利公式对策略进行了再计算和调整，进一步增加了该21点策略的稳定性，成功投稿到了美国科学院院刊。同时，他也准备在接下来的美国数学学会年度会议上演讲，演讲题目就是“财富公式：21点策略”。\n\n但美国数学学会年度会议的规格非常之高，美国数学学会是有严格的审查制度的，审查委员会对该21点策略的第一反应是拒绝，因为历史上数学家们已经证明了几乎全部的标准赌博游戏中不存在任何获胜策略。理论上，如果这些赌博游戏历史上如果存在制胜策略，该赌局就相当于被破解了，赌场有可能会因此亏钱最终关掉该赌博游戏。这就好比突然有一个人冒出来说自己发明了永动机一样荒唐。\n\n但当时美国知名数论家约翰·塞尔福里奇院士也看到了论文，他发现这篇论文是纯粹的数学研究且具备很高的可信度，在塞尔福里奇院士的担保下，这篇论文被允许在美国数学学会的年度会议上演讲。\n\n这次演讲大获成功，演讲现场所有打印出来的论文被一扫而空，但很快受到了大量的质疑。\n\n索普决定亲自在赌场上实际测试该策略，在两位百万富翁提供资金的情况下，他们去了内华达州的各大赌场测试了该策略验证了策略有效性。\n\n赌场并不是省油的灯，虽然索普成功破解了21点赌局，但遇到了一系列问题，包括但不仅限于出老千、下毒和制造车祸等操作。\n\n比如在他们赢了较大金额时，部分赌场就会出老千，在一位曾经是魔术师的资深赌客的帮助下，他们识破了大部分出千方法。\n\n在赌场中，索普还遇到过下毒，在喝了一口赌场提供的咖啡的情况下昏睡了数个小时。其中一次在赌场赢了钱后，发现自己的车的刹车被动过手脚，时速一度超过120公里/小时无法刹车，差点在山路上出了车祸。\n\n他们一周时间就在内华达州的赌场中赢了数万美元，然后成功上了大部分赌场的黑名单。不过后面索普庆幸自己没有继续赢下去，他后面了解到当时内华达州的赌场是由美国第二大黑帮管理的，赢了黑帮的钱对于一个年轻学者来说很难全身而退。赢了几万美元就遇到了下毒和车祸，再赢下去估计自己性命要交代在赌场里面了——欢迎来到真实世界。\n\n既然测试了策略大获成功，且没法铤而走险去赌场赢钱了。索普决定把策略公开出来赚版税，于是他写了一本《击败庄家》详细讲述了他的21点策略，这本书1962年11月出版，一出版就成功大卖，直接登上了纽约时报1964年的畅销榜。\n\n《击败庄家》使得很多算牌高手都投入到21点赌局中。赌场一开始采用的方法是监控算牌者，如果出现了较为明显的算牌现象，比如一会下大注一会下小注的情况时，就把这个人赶走。后面这个方法治标不治本，因为有一些人会一直下小注，然后在最关键的几把下大注赚钱。\n\n由于算牌者的出现，21点这个赌局确实赚不到钱了。1964年，各大赌场联合21点协会修改了规则，原先牌堆里面发出去的牌是不放回去洗牌的，但改成了会放回去重新洗牌，另外不允许加注了，堵死了索普的算牌方法。\n\n但这样改了之后，很快21点这个游戏就没人玩了。于是赌场没办法，只能把游戏规则改到了一个折中情况，以前21点只有一副牌，但现在21点是八副牌一起洗。八副牌一起洗实际上依然可以算牌，但算牌难度大大增加了。索普提到，如果有人能够在25秒内算完场上的牌的话，事实上依然可以获得很大优势，但这很难，尤其是八副牌一起算就更难了。\n\n21点的故事非常精彩，但这只是开始。\n\n索普意识到：华尔街才是最大的赌场！他发现利用凯利公式和概率计算能够完美的在金融市场上赚到钱。\n\n后来他就从麻省理工辞职，于1969年创立了人类历史上第一只量化对冲基金，主要做衍生品统计套利，拉开了量化投资的序幕。索普也是世界上最大的量化基金城堡Citadel的天使投资人。\n\n1998年，索普报告称，他在 28.5 年内平均年化回报率为 20%。\n\n2002年，索普把对冲基金关掉了转为家族信托，家族信托交给他儿子管，自己隐退幕后。\n\n## 制胜策略的核心\n\n## \n\n首先给大家科普一下，现代数学已经对赌场的全部赌局的公平性进行计算，计算后发现21点是赌场中最公平的游戏，21点庄家的优势只有0.32%；第二是百家乐，庄家的优势是1.06%；第三是掷骰子，庄家的优势为1.41%。\n\n这个优势是指庄家胜率和玩家胜率之间的差。\n\n21点本身是一个非常接近于公平的游戏，但这个公平是按照全部概率分布而言的。但随着发牌的推进，牌库中剩余的牌越来越少，通过剩余牌的概率分布变化，越往后赌客和庄家的胜率和赔率会发生变化。在某些特定牌局情况下玩家优势可以达到5%甚至10%，在特定牌局的情况下是玩家占优的。如果结合记牌和下注，赌客可以从特定剩余牌局中找到优势。然后如果结合凯利公式下注，这个优势还能被进一步放大。这就是索普制胜策略的核心。\n\n投资也是一样的，一开始你可能并不处于优势状态。但随着时间的推进，你了解的信息越来越多，最终可能演化出来的平行宇宙在不断减少，最终的概率分布越来越接近明牌。\n\n未来无法预测，我们无法掌握未来的全部信息，但我们可以推导出一些可能性，拿到一些相对市场来说微不足道的优势。最终我们掌握的信息可以让我们在特定投资机会上存在一定的优势赢面，我们随时根据未来可能演化出来的平行宇宙调整下注策略，再通过凯利公式把微弱的优势切切实实拿到手，最终在特定投资机会上赚到钱。\n\n凯利公式的核心就是，时刻判断当前局面下的胜率和赔率，不断动态调整下注仓位！\n\n价值投资常说的就是能力圈。从凯利公式的角度看，在你的能力圈之内处于信息优势，在能力圈之外处于信息劣势，在能力圈内下注。等待机会，等待局势变得明朗再出击，等到最完美的机会一击制胜。每个人都会遇到类似的机会，可能就在你能掌握的信息之内，只要你细心观察，就能判断出来合适的时机。\n\n在任何领域中都是一样的，在一个你有优势的领域中，伴随着局势变得越来越明朗，机会也会逐步变得清晰。判断未来走势不断调整自己的下注量，最终找到致胜的局面。\n\n## 何为凯利公式？\n\n## \n\n讲了这么多，终于来到了正题。这里我直接摘抄了我之前自己写推导过程，数学基础好的小伙伴可以看一下。大伙可以直接记结论：\n\n* 记仓位为f\n* 胜率为p\n* 赔率为b\n\nf = p -（1-p）/ b\n\n仓位 = 胜的概率 - 输的概率/赔率\n\n![图片](https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/KTLnyjtDjIps4qKiaazx9GFxJKEad3lVob6bVX0v72qdQNvBCLtPG2OZ6AatibdCXO0KIyNOSwkVFGUk4lNBFGhw/640?wx_fmt=png&from=appmsg&tp=wxpic&wxfrom=5&wx_lazy=1#imgIndex=1)\n\n简化版本在赔率b=1的情况下，凯利公式可以表述为2p-1，这个值实际上就是你相对对手盘胜率的差，也就是你相对对手盘的优势。\n\n如果你的胜率是60%，对手的胜率是40%，那么你们之间的胜率差为20%，应该下20%的注。\n\n但现实情况下，赔率可能不为一，比如我就是靠赔率赚钱的。\n\n我的赔率大约是一比二，胜率大约是50%，那么我的凯利仓位应该为50%-（1-50%）/2=25%，每次最多下25%仓位。\n\n巴菲特曾提到自己会用凯利公式，对冲基金经理 Mohnish Pabrai 拍卖得到2008年巴菲特的午餐时，巴菲特给他展示了在投资情况中使用凯利公式的案例。从那个案例中我们可以发现，巴菲特使用的简单版本的——在赔率为1情况下的凯利公式：\n\nf=2p-1\n\n仓位=胜率\\*2-1\n\n因为这个简化版本的凯利公式方便计算，推荐大家在下注前心算一下凯利仓位，然后再进行下注。\n\n比如说，猜大小这个赌局你的胜率是50%，按照简化版凯利公式2\\*50%-1=0，你的下注量为0，理论上你不应该投入任何时间精力在这个游戏中。\n\n比如说，你的交易记录证明了你在这个标的上有55%的胜率，按照简化版凯利公式那么你的下注仓位应该为55%\\*2-1=10%。也就是你在这个机会上最多下10%的仓位。\n\n比如说，你的交易记录证明了你依靠赔率赚钱，虽然胜率只有40%，但你的赔率能够达到2:1，按照完整版凯利公式你的下注仓位应该为40%-60%/2=10%。\n\n但你可能会发现：\n\n无论如何应用计算，凯利公式的下注仓位都是相对保守的，可能大幅度低于你平时习惯的下注仓位。\n\n请注意，超过凯利仓位的下注可能就是你亏损的根源。\n\n## 下注的艺术：过犹不及\n\n## \n\n比如一个胜率是50%的猜大小游戏，如果他的概率分布也完全独立随机，那么按照凯利公式告诉我们，仓位=50%\\*2-1=0，应该完全不参与这个游戏。如果你一旦投入了时间精力在这个游戏上，事实上就带来了时间精力上的亏损，运气不好的时候还会亏钱。\n\n如果你认为你的胜率是60%，那么在赔率为1的情况下，下注量=60%-40%=20%，即使你有60%的把握，也最多下20%的注。\n\n在投资的世界里面，相信我，60%已经是最高一档的胜率了，大部分高手的胜率都不会超过55%。即使有微弱的胜率优势，最终你也能构建稳定盈利的策略。\n\n国家规定基金单票持仓上限一般不能超过20%，这其实是凯利仓位限制的。事实上，任何一个成熟的投资组合都不会允许单票上限超过20%，过度仓位下的下注实际上是有害的。\n\n下图为过度下注的模拟，图中蓝色线代表按照凯利下注的财富增长曲线、绿色代表按照原始下注方式财富增长曲线、红色代表按照2.5倍凯利公式仓位得到的财富曲线。\n\n可以看到凯利公式下注代表的蓝线是增速最快的，但波动比原始版本大，原始版本的下注增长也不慢。\n\n但如果是2.5倍凯利公式反而是负增长的。\n\n![图片](https://mmbiz.qpic.cn/mmbiz_png/KTLnyjtDjIps4qKiaazx9GFxJKEad3lVooCgHIpiaRic75cs7NdcwSJIpxtY8DY5mlYPo1Zb10uHXUvyQXgow6wyg/640?wx_fmt=png&from=appmsg&tp=wxpic&wxfrom=5&wx_lazy=1#imgIndex=2)\n\n即使在一个期望为正的游戏里面，如果没有严格遵守凯利公式的仓位管理，可能最终反而是亏钱的，也就是我们说的过犹不及。\n\n如果超过凯利仓位过多，最终得到的反而是非常差的结果。值得注意的是，一开始2.5倍凯利公式的收益率是比凯利公式收益率更高的，但在后面大数定律才体现出来，收益率开始断档滑坡，可能是个别几次亏了大钱的结果。\n\n索普有一句名言：\n\n> 当你过度下注时，你将失去一切。\n\n索普已经证明，如果你的下注量超过了凯利仓位，最终的收益率反而是下降的。而如果你的下注量超过了两倍凯利仓位，那么最终收益率是负数的，长此以往必然破产。\n\n![图片](https://mmbiz.qpic.cn/sz_mmbiz_png/M7fHtGOlzVYlkTlaic1l5AamVmPicePYP5aQp44icEJPjIHsBZ0rT844zpb2zh5B8VqK0Wuju4UuPawpI8DgXAIibA/640?wx_fmt=png&from=appmsg#imgIndex=3)\n\n高手永不下桌\n\n华尔街有老的交易员，也有大胆的交易员，但没有又老又胆大的交易员。\n\n凯利公式最终能致胜的秘诀在于：\n\n> 永远不给自己会一把输光下桌的可能性。\n\n赢面较大的时候可以适当多下注，但通过凯利公式下注可以防止自己因为一时的坏运气被迫离场。\n\n大家如果刚接触凯利公式，必然会觉得这个东西非常神奇，直接套用即可。\n\n但这其实并不是难点，计算公式本身并不重要。\n\n现实是：人们总是会高估自己的胜率和赔率。\n\n历史上的胜率赔率并不能代表未来的胜率赔率，即使根据历史，也很容易把自己的胜率赔率高估。\n\n美盛资本管理公司的首席投资策略官Michael Mauboussin研究发现：\n\n人总是会高估自己的预测胜率。\n\n他做了一个线上测试，测试者答题并选择自己对所选答案的信心，然后得到下面的统计分布。人们的自信心，往往比实际能力略高一些，这是常态。\n\n统计了过去几十年关于对通胀对利率等各种预测的数据后，人类对于经济活动的预测准确度，其实也是这个分布，即越自信越有可能偏离。\n\n人们认为自己的胜率是50%时，最终的真实胜率是51%，反而会更高一些。\n\n认为自己的胜率是60%时\n\n真实胜率是56%\n\n认为自己的胜率是70%时\n\n真实胜率是57%\n\n认为自己的胜率是80%时\n\n真实胜率是60%\n\n认为自己的胜率是90%时\n\n真实胜率是65%\n\n认为自己的胜率是100%时\n\n真实胜率是77%\n\n没有人有足够的自知之明，每个人都会在刻意美化和高估自己。\n\n人性决定了，没有人能够合理的估计自己的胜率和赔率。\n\n这种情况下，如果使用错误的方式估算自己的胜率和赔率很容易高估自己的仓位，使得最终下注超过了凯利公式允许的仓位上限。\n\n比如你认为这件事的把握是80%，你可能会下80%\\*2-1=60%的仓位，\n\n但事实上你真实世界的胜率是60%，你只能下60\\*2-1=20%的仓位。\n\n注意！你实际上已经下了三倍凯利仓位的值。\n\n而索普已经证明了：两倍以上的凯利仓位必然破产。\n\n也就是说，再多来几次，如果你按照人性平均水平高估了自己，你必然会因为过度下注破产。\n\n因为人性总是会高估自己，加上凯利公式必然会惩罚过度下注的人，让两倍以上凯利仓位的人破产，所以第一步是要谨慎估计自己的胜率和赔率。\n\n有时候并不是下注更多就能更好的，仓位合适才是最重要的。\n\n索普认为，更好的方式是半凯利甚至几分之一凯利。\n\n索普还通过模拟指出：\n\n> 在样本足够大的情况下，1.7倍杠杆下破产几乎是注定的，杠杆是破产最大的风险。\n\n其实巴菲特也有杠杆，但因为巴菲特本质上可以利用保险的浮存金，他没有实质性的破产风险。\n\n我身边即使擅长使用杠杆的老手，他们一般都不会超过1.7倍杠杆。这背后可能是因为喜欢使用1.7倍以上杠杆的人最终被市场淘汰了。\n\n同样的，单票满仓风险也很大。满仓单票意味着你超过了全部凯利仓位上限，意味着把身家性命完全交给随机性。风险有时候来自于外界，并不是你自己真的做错了什么。\n\n比如你一个炒短线的满仓买了长生生物，直接突然黑天鹅32个一字跌停板，根本出不来。真要出现这种情况，你甘心吗？但你要是看长生生物出事前一天的走势，完全正常，从各种指标上都挑不出毛病，但他就是出事了，最终32个一字跌停板直接导致身家清零。\n\n如果你看到某个人是一直单票满仓最后赚钱了的，那么还有一个可能性就是他虽然满仓了，但这笔钱在他的全部资金中占比并不高，他拥有更多子弹可以补仓。\n\n我认识的有经常单票满仓的大佬，但人家账上的钱实际上可能只有他身家的十分之一，且人家赚钱后会不断转钱出来。 表面上他股票账户里面是满仓的，但人家一直有补仓的子弹。\n\n凯利公式的本质是，不同的局面对应合适的下注，仓位恰如其分的反应了你当前状态下的优势。\n\n## 尾声\n\n## \n\n在某次采访中，爱德华.索普给了大家四个他认为最有价值的建议：\n\n①专家的意见经常是毫无价值的，你要独立思考。\n\n②好好读一读塔勒布的书《随机漫步的傻瓜》，里面有一个重要的点，大部分公开信息都是噪音，这些都应该无视。\n\nP.S. 「面基」6月初会发一期有关塔勒布的节目。\n\n③如果你自己做主动管理，你应该要享受这个过程，并且在你擅长的地方去做。\n\n④保持阅读和学习。\n\n---\n\n⚠️ 风险提示：「老钱日日谈」只是机械地记录作者每天的胡思乱想，因此每篇文章可能会同时说好几个完全不相干的事。所有内容皆仅以交流个人想法和分享知识为目的，完全不构成任何投资建议或参考。请读者注意判断其中风险，结合个人投资目标、财务状况和需求，独立思考，谨慎决策。your money your decision.\n",
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